Большая Советская Энциклопедия (СХ). Страница 3



  Свойство С. тех или иных математических объектов играет существенную роль как в вопросах теории, так и в приложениях математики. Например, часто используется представление каких-либо величин или функций с помощью сходящихся рядов; так, для основания натуральных логарифмов е имеется разложение его в сходящийся ряд

 

Большая Советская Энциклопедия (СХ) - i-images-132756258.png

  для функции sin х — в сходящийся при всех х ряд

 

Большая Советская Энциклопедия (СХ) - i-images-199957945.png

Подобные ряды могут быть использованы для приближённого вычисления рассматриваемых величин и функций. Для этого достаточно взять сумму нескольких первых членов, при этом чем больше их взять, тем с большей точностью будет получено нужное значение. Для одних и тех же величин и функций имеются различные ряды, суммой которых они являются, например,

 

Большая Советская Энциклопедия (СХ) - i-images-179137539.png
,

  

Большая Советская Энциклопедия (СХ) - i-images-192683027.png
.

При практических вычислениях в целях экономии числа операций (а следовательно, экономии времени и уменьшения накопления ошибок) целесообразно из имеющихся рядов выбрать ряд, который сходится «более быстро». Если даны два сходящихся ряда

Большая Советская Энциклопедия (СХ) - i-images-114191890.png
 и
Большая Советская Энциклопедия (СХ) - i-images-162972241.png
, и
Большая Советская Энциклопедия (СХ) - i-images-180867414.png
,
Большая Советская Энциклопедия (СХ) - i-images-168272696.png
. — их остатки, то 1-й ряд называется сходящимся быстрее 2-го ряда, если

 

Большая Советская Энциклопедия (СХ) - i-images-110037059.png
.

  Например, ряд

 

Большая Советская Энциклопедия (СХ) - i-images-179838932.png

сходится быстрее ряда

 

Большая Советская Энциклопедия (СХ) - i-images-148947151.png
.

Используются и другие понятия «более быстро» сходящихся рядов. Существуют различные методы улучшения С. рядов, то есть методы, позволяющие преобразовать данный ряд в «более быстро» сходящийся. Аналогично случаю рядов вводится понятие «более быстрой» С. и для несобственных интегралов, для которых также имеются способы улучшения их С.

  Большую роль понятие С. играет при решении всевозможных уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных), в частности при нахождении их численных приближённых решений. Например, с помощью последовательных приближений метода можно получить последовательность функций, сходящихся к соответствующему решению данного обыкновенного дифференциального уравнения, и тем самым одновременно доказать существование при определённых условиях решения и дать метод, позволяющий вычислить это решение с нужной точностью. Как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и уравнений с частными производными существует хорошо разработанная теория различных сходящихся конечноразностных методов их численного решения (см. Сеток метод ). Для практического нахождения приближённых решений уравнений широко используются ЭВМ.

  Если изображать члены an последовательности {an} на числовой прямой, то С. этой последовательности к а означает, что расстояние между точками anи а становится и остаётся сколь угодно малым с возрастанием n. В этой формулировке понятие С. обобщается на последовательности точек плоскости, пространства и более общих объектов, для которых может быть определено понятие расстояния, обладающее обычными свойствами расстояния между точками пространства (например, на последовательности векторов, матриц, функций, геометрических фигур и т. д., см. Метрическое пространство ). Если последовательность {an} сходится к а, то вне любой окрестности точки а лежит лишь конечное число членов последовательности. В этой формулировке понятие С. допускает обобщение на совокупности величин ещё более общей природы, в которых тем или иным образом введено понятие окрестности (см. Топологическое пространство ).

  В математическом анализе используются различные виды С. последовательности функций {fn (x)} к функции f (x) (на некотором множестве М). Если

Большая Советская Энциклопедия (СХ) - i-images-148965573.png
 для каждой точки X (из М), то говорят о С. в каждой точке [если это равенство не имеет места лишь для точек, образующих множество меры нуль (см. Мера множества ), то говорят о С. почти всюду]. Несмотря на свою естественность, понятие С. в каждой точке обладает многими нежелательными особенностями [например, последовательность непрерывных функций может сходиться в каждой точке к разрывной функции; из С. функций fn (x) к f (x) в каждой точке не следует, вообще говоря, С. интегралов от функций fn (x) к интегралу от f (x) и т. д.]. В связи с этим было введено понятие равномерной С., свободное от этих недостатков: последовательность {fn (x)} называется равномерно сходящейся к f (x) на множестве М, если

 

Большая Советская Энциклопедия (СХ) - i-images-111649938.png

Этот вид С. соответствует определению расстояния между функциями f (x) и (

Большая Советская Энциклопедия (СХ) - i-images-189502721.png
(х) по формуле

 

Большая Советская Энциклопедия (СХ) - i-images-175500153.png

Д. Ф. Егоров доказал, что если последовательность измеримых функций сходится почти всюду на множестве М, то из М можно так удалить часть сколь угодно малой меры, чтобы на оставшейся части имела место равномерная С.

  В теории интегральных уравнений, ортогональных рядов и т. д. широко применяется понятие средней квадратической С.: последовательность {fn (x)} сходится на отрезке [a, b] в среднем квадратическом к f (x), если

 

Большая Советская Энциклопедия (СХ) - i-images-126429103.png
.

Более общо, последовательность {fn (x)} сходится в среднем с показателем р к f (x), если

 

Большая Советская Энциклопедия (СХ) - i-images-144304793.png
.

Эта С. соответствует заданию расстояния между функциями по формуле

 

Большая Советская Энциклопедия (СХ) - i-images-121843985.png
.

Из равномерной С. на конечном отрезке вытекает С. в среднем с любым показателем р. Последовательность частичных сумм разложения функции j(х) с интегрируемым квадратом по нормированной ортогональной системе функций может расходиться в каждой точке, но такая последовательность всегда сходится к j(х) в среднем квадратическом. Рассматриваются также другие виды С. Например, С. по мере: для любого e  > 0 мера множества тех точек, для которых

Большая Советская Энциклопедия (СХ) - i-images-149227902.png
, стремится к нулю с возрастанием n', слабая С.:

 

Большая Советская Энциклопедия (СХ) - i-images-131647237.png

для любой функции j(x) с интегрируемым квадратом (например, последовательность функций sinx, sin2x,..., sinnx,... слабо сходится к нулю на отрезке [—p, p], так как для любой функции j(х) с интегрируемым квадратом коэффициенты

Большая Советская Энциклопедия (СХ) - i-images-127265548.png
 ряда Фурье стремятся к нулю).




Перейти на страницу:
Изменить размер шрифта: