Большая Советская Энциклопедия (ОР). Страница 74

  А. В. Яблоков.

Ортогеосинклиналь

Ортогеосинклина'ль, близ- или межконтинентальная геосинклиналь , способная к альпинотипной складчатости и сопровождаемая часто начальным магматизмом. Обладает значительным продольным протяжением и является материнской по отношению к складчатому горному сооружению. О. состоит обычно из продольных (эвгеосинклинальных с интенсивным магматизмом и миогеосинклинальных со слабым проявлением или отсутствием магматизма) зон. Термин «О.» предложен в 1940 немецким геологом Х. Штилле.

Ортогнатизм

Ортогнати'зм (от греч. orthós — прямой и gnáthos — челюсть), отсутствие или незначительность выступания вперёд верхней челюсти по отношению к общей фронтальной плоскости лица, в отличие от прогнатизма . Степень выступания челюстей находится в слабой взаимозависимости с длиной и шириной лица. Лицевой угол при О. от 85° до 92,9°. Тем же термином и в пределах тех же углов принято обозначать относительную прямоту носового, или среднелицевого, отдела и альвеолярной (см. Альвеола , 3) части верхней челюсти. О. является исключительной морфологической особенностью человека, связанной с преобладанием у него мозговой части черепа над лицевой.

Ортогнатия

Ортогна'тия (от греч. orthós — прямой, правильный и gnáthos — челюсть), один из видов нормального прикуса , при котором верхние передние зубы перекрывают нижние примерно на ¹/₃ высоты их коронок.

Ортогнейс

Ортогне'йс (от греч. orthós — прямой и гнейс ), горная порода, образовавшаяся в результате изменения (метаморфизма) изверженных пород (гранитов, кварцевых диоритов и др.), в отличие от парагнейса , возникшего за счёт осадочных горных пород.

Ортогональная матрица

Ортогона'льная ма'трица порядка nматрица

,

произведение которой на транспонированную матрицу А' даёт единичную матрицу, то есть АА' = Е (а следовательно, и A'A = Е). Элементы О. м. удовлетворяют соотношениям:

 

или эквивалентным соотношениям:

 

  Определитель |A| О. м. равен +1 или —1. При перемножении двух О. м. снова получается О. м. Все О. м. порядка n относительно операции умножения образуют группу , называемую ортогональной. При переходе от одной прямоугольной системы координат к другой коэффициенты a_ij в формулах преобразования координат

 

  образуют О. м. См. также Унитарная матрица .

Ортогональная проекция

Ортогона'льная прое'кция, частный случай параллельной проекции , когда ось или плоскость проекций перпендикулярна (ортогональна) направлению проектирования.

Ортогональная система функций

Ортогона'льная систе'ма фу'нкций, система функций {(j_n (x)}, n = 1, 2,..., ортогональных с весом r (х) на отрезке [а, b], т. е. таких, что

  Примеры. Тригонометрическая система 1, cosnx, sin nx; n = 1, 2,..., — О. с. ф. с весом 1 на отрезке [—p, p]. Бесселя функции

, где n = 1, 2,...,  — положительные нули J_n(x), образуют для каждого n > — ¹/₂ О. с. ф. с весом х на отрезке [0, l ].

  Если каждая функция j (х) из О. с. ф. такова, что

 (условие нормированности), то такая система функций называется нормированной. Любую О. с. ф. можно нормировать, умножив j (х) на число  — нормирующий множитель.

  Систематическое изучение О. с. ф. было начато в связи с методом Фурье решения краевых задач уравнений математической физики. Этот метод приводит, например, к разысканию решений Штурма — Лиувилля задачи для уравнения [r(х) у' ]' + q (x) y = lу, удовлетворяющих граничным условиям у (а) + hy'(a) = 0, y (b) + Hy' (b) = 0, где h и Н — постоянные. Эти решения — т. н. собственные функции задачи — образуют О. с. ф. с весом r (х) на отрезке [a, b ].

  Чрезвычайно важный класс О. с. ф. — ортогональные многочлены — был открыт П. Л. Чебышевым в его исследованиях по интерполированию способом наименьших квадратов и проблеме моментов. В 20 в. исследования по О. с. ф. проводятся в основном на базе теории интеграла и меры Лебега. Это способствовало выделению этих исследований в самостоятельный раздел математики. Одна из основных задач теории О. с. ф.— задача о разложении функции f (x) в ряд вида

, где {j_п (х)} — О. с. ф. Если положить формально , где {j_п (х)} — нормированная О. с. ф., и допустить возможность почленного интегрирования, то, умножая этот ряд на j_п (х) r(х) и интегрируя от а до b, получим:

 (*)

Коэффициенты С_п , называемые коэффициентами Фурье функции относительно системы {j_n (x)}, обладают следующим экстремальным свойством: линейная форма

 наилучшим образом приближает в среднем эту функцию. Иными словами, средняя квадратичная ошибка с весом r(х):

 

 (*)

имеет наименьшее значение по сравнению с ошибками, даваемыми при том же n другими линейными выражениями вида

. Отсюда, в частности, получается т. н. неравенство Бесселя

  Ряд

 с коэффициентами С_п , вычисленными по формуле (*), называется рядом Фурье функции f (x) по нормированной О. с. ф. {j_n (x)}. Для приложений первостепенную важность имеет вопрос, определяется ли однозначно функция f (x) своими коэффициентами Фурье. О. с. ф., для которых это имеет место, называется полными, или замкнутыми. Условия замкнутости О. с. ф. могут быть даны в нескольких эквивалентных формах. 1) Любая непрерывная функция f (x) может быть с любой степенью точности приближена в среднем линейными комбинациями функций j_k (x), то есть  в этом случае говорят, что ряд  сходится в среднем к функции f (x)]. 2) Для всякой функции f (x), квадрат которой интегрируем относительно веса r(х), выполняется условие замкнутости Ляпунова — Стеклова: